Probabilidade

1. História

A teoria das probabilidades teve seu início nos jogos de azar. Girolano Cardano (1501-1576) e Galileu Galilei (1564-1642) estão entre os primeiros matemáticos a analisar, matematicamente, o jogo de dados.

Da correspondência entre Pascal e Fermat e de suas pesquisas observando várias situações de jogos de azar é que evoluiu a teoria das probabilidades.

Atualmente, a teoria das probabilidades é muito usada na teoria dos jogos, estatística, em biologia, em psicologia, em sociologia, em economia e em pesquisa operacional.

2. Introdução

A teoria da probabilidade é um ramo da matemática que cria, elabora e pesquisa modelos para estudar experimentos aleatórios (fenômenos aleatórios).

2.1 Experimentos

2.1.1 Experimentos determinísticos: são aqueles cujos resultados podem ser previstos, antes mesmo de sua realização.

Exemplo:

* A temperatura em que a água entra em ebulição.

2.1.2 Experimentos aleatórios (fenômenos aleatórios): são aqueles cujos resultados não podem ser previstos, ainda que eles sejam repetidos várias vezes e nas mesmas condições.

Exemplo:

* no lançamento de uma moeda perfeita, o resultado é imprevisível (cara ou coroa).

* o lançamento de um dado “não viciado“, o resultado não pode ser previsto (resultados possíveis são: 1, 2, 3, 4, 5, 6).

* o resultado de um jogo de roleta.

* a carta retirada de um baralho (são 52 resultados possíveis).

* o número de pessoas que ganharão na loteria.

Características de um experimento ou fenômeno aleatório

* não se pode prever o resultado;

*pode se repetir o experimento várias vezes nas mesmas condições;

*é conhecido o conjunto de todos os resultados possíveis.

Como não podemos prever o resultado de um experimento aleatório, procuramos descobrir as possibilidades de ocorrência de cada um.

A teoria da probabilidade tenta medir a “chance” de ocorrer determinado resultado em um experimento aleatório.

3. O espaço amostral

Espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório, que indicamos por U.

Exemplo:

* o nascimento de uma criança com o registro do sexo, considerando m: masculino e f: feminino, temos: U = {m, f}.

* retirar uma carta de um baralho de 52 cartas e registrar o seu naipe, considerando c: copas, e: espadas, o: ouro e p: paus temos: U = {c, e, o, p}.

* o lançamento de um dado: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

    4. Eventos

Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral.

No lançamento de um dado, por exemplo, sendo U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, podemos ter os seguintes eventos:

* A: O número é par, A = {2, 4, 6}

* B: O número é ímpar, B = {1, 3, 5}

* C: O número é múltiplo de 7, C = { } ou Ø

* D: O número é menor que 10 D = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

* F: O número é impar e primo F = {3, 5}

Observações:

* Quando um evento é vazio, ele é chamado de evento impossível.

* Quando um evento é formado apenas por um elemento, ele é chamado de evento elementar ou simples.

* Quando um evento é o próprio espaço amostral U, ele é chamado evento certo.

* Em relação aos eventos A e B, temos: A U B = U, a união dos dois eventos é o próprio espaço amostral. Neste caso, dizemos que os eventos A e B são complementares. Indicamos o complementar de um evento A por Ā.

* Em relação aos eventos A e F, temos: A ∩ F = Ø. Neste caso, dizemos que os ventos A e F são eventos mutuamente exclusivos.

   5. Cálculo de probabilidade de um evento em um espaço amostral finito.

Considere a seguinte situação:

No lançamento de um dado, qual a probabilidade de cair “5”?

Espaço amostral: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Evento: A = {5}, A é um evento simples ou elementar.

A probabilidade de cair “5” é de 1 em 6 possibilidades ou de ⅙ ou, ainda, de 16,66...%.

Para cada um dos outros números do espaço amostral, a probabilidade continua a mesma: ⅙

Considere um experimento aleatório em que, para cada um dos n eventos simples do espaço amostral U, a chance de ocorrência é a mesma. A probabilidade de cada evento simples é ⅟n.

Para um evento simples A, indicamos: P (A) = 1∕n(U).

Podemos ampliar essa definição de probabilidades de um evento simples para a probabilidade de um evento qualquer.

P(A) = n(A)          n(A): nº de elementos do evento A,

            n(U)         n(U): nº de elementos do espaço amostral U